Robert Bretscher begann seine Turnerkarriere in der Jugendriege des TV Wülflingen. Mit 16 Jahren war er bereits im Nationalkader und mit 18 Jahren wurde er erstmals Schweizermeister bei den Junioren. Ein Jahr später konnte er seinen Schweizermeistertitel bei den Junioren verteidigen. Im gleichen Jahr stand er auch schon auf dem Podest bei der Elite mit einem 3. Platz im Pferdsprung.

Seine internationale Laufbahn startete er 1972 mit den Olympischen Spielen in München. Mit der Mannschaft erreichte er dort den 11. Rang und persönlich den 14. Rang im Pferdsprung. An Schweizermeisterschaften errang er insgesamt 22 Goldmedaillen in verschiedenen Disziplinen. Ab 1975 war er regelmässig an den Turn-Europameisterschaften für die Schweiz im Einsatz und erreichte dort durchwegs Spitzenresultate.

1976 konnte er erneut an den Olympischen Spielen in Montreal teilnehmen, wo er im Mehrkampf mit dem 14. Schlussrang das beste Resultat aller westeuropäischen Turner erzielte. 1978 gab er seinen Rücktritt. Bis zu seiner Pensionierung arbeitete er noch 40 Jahre als Lok-Führer bei der SBB.